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GEOMETRIA DEL ESPACIO

GEOMETRIA ANALITICA

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CLASES DE CONJUNTOS

CLASES DE CONJUNTOS

CLASES DE CONJUNTOS

Según el número de elementos que conforman un conjunto, éstos se clasifican en:

Universal o referencia.

 Vacío.

Unitario.

Finito.

Infinito.

 Conjunto universal o referencia

El conjunto universal o referencia, es el formado por un amplio número de elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más conjuntos.

Para representar que un conjunto es universal se utiliza la vocal U mayúscula.

Ejemplo:

El conjunto formado por las letras del abecedario.

U = { letras del abecedario }

Gráficamente: 

Del conjunto U se puede formar el conjunto V de vocales y conjunto C de consonantes.

Conjunto vacío

El conjunto vacío es aquel que no tiene elemento alguno.

Ejemplos:

A = { }

El conjunto A no posee ningún elemento.

B = { números impares entre 5 y 7 }

No existe ningún numero impar entre los números 5 y 7.

Gráficamente:

Generalmente el conjunto vacío se representa mediante un paréntesis { } (corchete sin elemento), o por el símbolo.

 Conjunto unitario

 El conjunto unitario es aquel que posee solamente un elemento.

Ejemplos:

1. El conjunto de números naturales mayores de 8 y menores de 10:

C = { 9 }

El único elemento es el número 9.

Conjunto finito

Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.

Ejemplos:

•           Conjunto de números pares entre 10 y 40:

R = { 10,12,14,16,18,20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 }

•           Conjunto de las páginas de un libro: 

T = { páginas de un libro }.

•           Conjunto de vocales.

V = { a, e, o, i, u }

Conjunto infinito

El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar

Ejemplos:

•          El conjunto de los números naturales:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...}

El conjunto de los números naturales es infinito, puesto que no es posible contar la totalidad de elementos (números) que conforman el conjunto.

•          El conjunto de los peces en el mar:

P = { los peces en el mar }

La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo # y corresponde al número de elementos que tiene el conjunto.

Ejemplos:

W  =  { $, %, &, /, ª  }      El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad es 5 (  #  =  5 )

# Q =  3

  # K= 1

LÓGICAS DE MATEMÁTICA

Operadores logicos

Tablas De Verdad

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición

compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo

Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican

las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.

Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como

Hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:

Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.

Negación lógica

Para otros usos de este término, véase negación.

En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación está normalmente identificada con la función de verdad que cambia su valor de verdadero a falso y viceversa. En Lógica intuicionista, de acuerdo a la interpretación BHK, la negación de una proposición p es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de p. En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de posibles mundos, la negación de p, es su complemento.

La negación clásica se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, ¬p se puede definir como p → F, donde "→" es una implicación lógica y F es una falsedad absoluta. Por el contrario, se puede definir F como p & ¬p para cualquier proposición p, donde "&" es una conjunción lógica. La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa. Mientras estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la instuicionista, no funcionan en la lógica paraconsistente, donde las contradicciones no son necesariamente falsas.

En lógica clásica tenemos una identidad adicional: p → q se puede definir como ¬p ∨ q, donde "∨" es la disyunción lógica: "no p, o q".

Algebraicamente, la negación clásica corresponde con el complemento en un álgebra booleana, y la negación intuicionista al seudocomplemento en un álgebra de Heyting. Estas álgebras proveen una semántica para las lógicas clásica e intuicionista respectivamente.

La negación de una proposición p se denota dediferentes maneras en varios contextos y campos de aplicación. Entre estas variantes, tenemos las siguientes:

 

Conjunción

Una conjunción lógica (comúnmente simbolizada como Y o) es, en lógica y matemáticas, un operador lógico que resulta en verdadero si los dos operadores son verdaderos.

Dado un conjunto universal U y una operación binaria interna conjunción, que representaremos:

Por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b.

Para dos entradas a y b, la tabla de verdad de la función conjunción es

 

Disyunción lógica.

En matemáticas, una disyunción lógica, comúnmente conocida como O, o bien como, es un operador lógico que resulta verdadero si cualquiera de los operadores es también verídico. El símbolo  es la inicial de la conjunción adversativa latina vel, que significa «o», «o bien».

Definición

Dado un conjunto universal U y una operación binaria interna disyunción, que representaremos:

Por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la disyunción lógica a y b.

Para dos entradas a y b, la tabla de la verdad de la función disyuntiva es también la disyunción, cuando hay dos elementos en dos conjuntos que integran una proposición. La tabla de la verdad es:

Más generalmente, la disyunción es una fórmula lógica que puede consistir en una o más literales separadas mediante o. Si existe una sola literal se le considera disyunción degenerada.

El condicional 

Material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q

Tabla de Verdad Condicional

EJEMPLOS

p:  ”llueve”

q: “hay nubes”

p→q: “si llueve entonces hay nubes”

p:  ”Hoy es miércoles”

q: “Mañana será jueves”

p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

FUCIONES DE VARIABLE REAL

Definición de función.

De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Posteriormente veremos que los números que son aceptados por la máquina compondrán el dominio de definición de la función y el conjunto de elementos de salida compondrán el recorrido de la función.

 

En esta función, el dominio será el conjunto de todos los números reales positivos pues el lado de un cuadrado nunca puede tener una medida negativa.

Su recorrido es también el conjunto de todos los números positivos pues un área no puede ser negativa. Además siempre existe un cuadrado que tenga por área cualquier número positivo (bastará construir un cuadrado cuyo lado sea la raíz cuadrada del área elegida).

2.- Cualquier expresión del tipo y=f(x) de las estudiadas en cursos anteriores representa una función real de variable real.

Definición

Definimos función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).

De una manera más rigurosa:

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R

Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.

Ejemplos

Calcula la imagen de los números 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones:

2.- Dominio de definición de una función.

Definición

El subconjunto S de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).

Nota

El dominio de una función puede estar limitado por:

1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.

VALOR ABSOLUTO

VALOR ABSOLUTO

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen. 
Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6.
Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.
En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número.
De modo general, el valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número acuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces |a| = −a.
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:

Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que ceroy nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos.
Veamos los siguientes ejemplos 

Ejemplo 1 

a) 

b) 

Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.
c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2, pues x − 2 > 0. Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la deja igual.
d) Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2),  pues  x − 2 < 0 . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto la cambia de signo.

Factorizacion Caso 6 Trinomio de la forma X2 + bx + c

10 CASOS DE FACTORIZACION

CASOS DE FACTORIZACION  

 CASO  I

FACTOR COMÚN 

Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Ejemplos:

b+15-10

Los tres términos tienen el factor común b  .Escribimos este factor como coeficiente  de un paréntesis y dentro del, el resultado de dividir cada termino por el factor común

b+15-10= b (+3ab -2)

Factorar

b (+3ab -2) R//

 FACTOR COMÚN  POLINOMIO

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

No todo polinomio se puede descomponer en dos o mas factores distintos de 1, pues del mismo modo que, aritmética, hay números primeros que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que son divisibles por ellas mismas y por uno, y que, por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a+b no pueden descomponerse en dos factores distintos de 1 porque solo es divisible por a+b y por 1

Factorar.

Ejemplo:

m (x+2)+X+2

Esta expresión podemos escribirla:

 m (x+2)+(x+2)=m(x+2)+1(x+2)

Factor común   (x+2)

 (X+2)+1(x+2)=(x+2)(m+1) R//

 CASO II

FACTOR COMUN  POR AGRUPACION DE TERMINOS

                                                                                                               

1.    Agrupar términos con elementos comunes

2.    Establecer el factor común en cada grupo.

3.    Formar el factor común del polinomio con los factores comunes a cada grupo.

Factorar

6x+4-24-16

Agrupar términos con elementos comunes (1º.y 3º), (2º,y 4º)

(6x-24)+ (4-16)

Establecer el factor común de cada grupo:

6x (1-4+4(1-4)

Formar el factor común del polinomio:

(6x+4)(1-4)

Entonces:

6x+4-24-16= (6x+4) (1-4)

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO UN TRINOMIO

                                                                                                                

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

1. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos del   trinomio.

2. Se anotan los dos términos anteriores como una suma algebraica elevada al cuadrado.

Lo anterior queda expresado como  

a2+2ab+b2=(a+b)2

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO  UN TRINOMIO

 (CASO ESPECIAL)

La regla  empleada en  los ejemplos  anteriores  es aplicable  ala diferencia de cuadrados  en que uno  o ambos cuadrados son expresiones compuestas.

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Expresiones como a² - b² , 4² - p²q² , 1/9y² - m²n² , se denominan diferencias de cuadrados  perfectos, ya que  los términos que lo forman tienen raíz cuadrada exacta.

La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos binomios, uno como suma y otro como  resta. Los términos de estos binomios son las raíces  cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia  planteada al principio.

Ejemplo:

Factorizar  x² - y² 

Raíz cuadrada de  x²  = x

Raíz cuadrada de  y²  = y

x² - y²  = (x + y)(x - y)

CASO ESPECIAL DE DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:  

Factorar (a + b)² - c²   (a + b)² - c²   Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)   [(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis   (a + b + c) (a + b – c)      

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. Para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polinomios  x que multiplicado sale igual a la raíz de 2.

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:
a2 + 2 a - 15 = (a + 5) (a – 3)

CASO VI

Trinomio de la Forma; x² + bx + c  

Factorar x² + 7x + 12    

1.- Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio   (x.......) (x.......)    

2.-  Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12   4 + 3 = 7 4 x 3 = 12    

3. -  Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis   (x + 4)(x + 3)     Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)      

 

CASO  VII

TRINOMIO DE LA FORMA; AX² + BX + C  

Factorar 6x² - x – 2 = 0  

Pasos:  

1.-Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación   6x² - x – 2   36x² - [ 6 ] x – 12    

2.- Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente   (6x.......) (6x.......)    
3.- Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 número que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]    

4.- Esos número son [ - 4 y 3 ]   - 4 + 3 = - 1   [ - 4] [ 3 ] = - 12    

5.-Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis   (6x - 4) (6x + 3)    
6.-Dividimos el resultado entre el número que multiplicamos al trinomio, en el Paso 1.-

   (6x - 4) (6x + 3)

                    6    

7.- Factorizamos los Binomios tomando a [2] y a [3], como termino común en cada binomio, de esta manera, podemos eliminar el [6], del denominador  

2(3x - 2) 3(2x + 1)

             6  

6(3x - 2) (2x + 1)
                              = (3x - 2) (2x + 1)
             6  

Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (3x - 2) (2x + 1)    

CASO VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:

El número de monomios que la conforma son cuatro (4).
La raíz del primer y cuarto monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El segundo y tercer término tienen que cumplir el triángulo de Pascal.
El primer término siempre debe ser positivo.

PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:

Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.
Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la ráiz del cuarto y ésto por tres.
Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.
Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la ráiz del primero y ésto por tres.
Verificar que dé igual al tercer término de la expresión.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces del primer y cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo monomio), y todo elevado a la tres.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.


EJEMPLO:

FACTORIZAR: 125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15

SOLUCIÓN:

125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15 = (5 x 4 +8 y5 )3

raíces cúbicas: 5 x 4 8 y5

3. (5 x4)2 . (8 y5) 3 . (5 x4) . (8 y5)2

= 600 x8 y5 =960 x4 y10

 CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS


CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:

El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raíz del primer y segundo monomio tiene que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.


PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:

Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces de acuerdo al signo que se tiene en la expresión.
Multiplicar por otro paréntesis en el que se coloca la primera raíz elevada al cuadrado, luego la multiplicación de las dos raíces, y por último la segunda raíz elevada al cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.


EJEMPLO:

FACTORIZAR: a3 - 8

SOLUCIÓN:


a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )

raíces cúbicas: a 2

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
(a+b)3 = 3 a2b + 3 ab2 +b3
(a-b)3 = a3 – 3 a2b + 3 a2b – b3

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS:

a³ ± b³   Suma de Cubos: → a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)  

Se resuelve de la siguiente manera  
El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)    
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]   [ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]  

Diferencia de Cubos: → a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)  

Se resuelve de la siguiente manera  
El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)  
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]  
[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]