LÓGICAS DE MATEMÁTICA

Operadores logicos

Tablas De Verdad

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición

compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo

Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican

las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.

Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como

Hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:

Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.

Negación lógica

Para otros usos de este término, véase negación.

En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación está normalmente identificada con la función de verdad que cambia su valor de verdadero a falso y viceversa. En Lógica intuicionista, de acuerdo a la interpretación BHK, la negación de una proposición p es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de p. En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de posibles mundos, la negación de p, es su complemento.

La negación clásica se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, ¬p se puede definir como p → F, donde "→" es una implicación lógica y F es una falsedad absoluta. Por el contrario, se puede definir F como p & ¬p para cualquier proposición p, donde "&" es una conjunción lógica. La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa. Mientras estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la instuicionista, no funcionan en la lógica paraconsistente, donde las contradicciones no son necesariamente falsas.

En lógica clásica tenemos una identidad adicional: p → q se puede definir como ¬p ∨ q, donde "∨" es la disyunción lógica: "no p, o q".

Algebraicamente, la negación clásica corresponde con el complemento en un álgebra booleana, y la negación intuicionista al seudocomplemento en un álgebra de Heyting. Estas álgebras proveen una semántica para las lógicas clásica e intuicionista respectivamente.

La negación de una proposición p se denota dediferentes maneras en varios contextos y campos de aplicación. Entre estas variantes, tenemos las siguientes:

 

Conjunción

Una conjunción lógica (comúnmente simbolizada como Y o) es, en lógica y matemáticas, un operador lógico que resulta en verdadero si los dos operadores son verdaderos.

Dado un conjunto universal U y una operación binaria interna conjunción, que representaremos:

Por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b.

Para dos entradas a y b, la tabla de verdad de la función conjunción es

 

Disyunción lógica.

En matemáticas, una disyunción lógica, comúnmente conocida como O, o bien como, es un operador lógico que resulta verdadero si cualquiera de los operadores es también verídico. El símbolo  es la inicial de la conjunción adversativa latina vel, que significa «o», «o bien».

Definición

Dado un conjunto universal U y una operación binaria interna disyunción, que representaremos:

Por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la disyunción lógica a y b.

Para dos entradas a y b, la tabla de la verdad de la función disyuntiva es también la disyunción, cuando hay dos elementos en dos conjuntos que integran una proposición. La tabla de la verdad es:

Más generalmente, la disyunción es una fórmula lógica que puede consistir en una o más literales separadas mediante o. Si existe una sola literal se le considera disyunción degenerada.

El condicional 

Material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q

Tabla de Verdad Condicional

EJEMPLOS

p:  ”llueve”

q: “hay nubes”

p→q: “si llueve entonces hay nubes”

p:  ”Hoy es miércoles”

q: “Mañana será jueves”

p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves