lunes, 3 de febrero de 2014
domingo, 2 de febrero de 2014
CLASES DE CONJUNTOS
CLASES DE CONJUNTOS
CLASES DE CONJUNTOS
Según el número de elementos que conforman un conjunto, éstos se clasifican en:
Universal o referencia.
Vacío.
Unitario.
Finito.
Infinito.
Conjunto universal o referencia
El conjunto universal o referencia, es el formado por un amplio número de elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más conjuntos.
Para representar que un conjunto es universal se utiliza la vocal U mayúscula.
Ejemplo:
El conjunto formado por las letras del abecedario.
U = { letras del abecedario }
Gráficamente:
Del conjunto U se puede formar el conjunto V de vocales y conjunto C de consonantes.
Conjunto vacío
El conjunto vacío es aquel que no tiene elemento alguno.
Ejemplos:
A = { }
El conjunto A no posee ningún elemento.
B = { números impares entre 5 y 7 }
No existe ningún numero impar entre los números 5 y 7.
Gráficamente:
Generalmente el conjunto vacío se representa mediante un paréntesis { } (corchete sin elemento), o por el símbolo.
Conjunto unitario
El conjunto unitario es aquel que posee solamente un elemento.
Ejemplos:
1. El conjunto de números naturales mayores de 8 y menores de 10:
C = { 9 }
El único elemento es el número 9.
Conjunto finito
Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.
Ejemplos:
• Conjunto de números pares entre 10 y 40:
R = { 10,12,14,16,18,20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 }
• Conjunto de las páginas de un libro:
T = { páginas de un libro }.
• Conjunto de vocales.
V = { a, e, o, i, u }
Conjunto infinito
El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar
Ejemplos:
• El conjunto de los números naturales:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...}
El conjunto de los números naturales es infinito, puesto que no es posible contar la totalidad de elementos (números) que conforman el conjunto.
• El conjunto de los peces en el mar:
P = { los peces en el mar }
La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo # y corresponde al número de elementos que tiene el conjunto.
Ejemplos:
W = { $, %, &, /, ª } El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad es 5 ( # = 5 )
# Q = 3
# K= 1
LÓGICAS DE MATEMÁTICA
Operadores logicos
Tablas De Verdad
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición
compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo
Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.
En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican
las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.
No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.
La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.
Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.
Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como
Hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.
Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:
Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.
Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).
Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.
Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.
Negación lógica
Para otros usos de este término, véase negación.
En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación está normalmente identificada con la función de verdad que cambia su valor de verdadero a falso y viceversa. En Lógica intuicionista, de acuerdo a la interpretación BHK, la negación de una proposición p es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de p. En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de posibles mundos, la negación de p, es su complemento.
La negación clásica se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, ¬p se puede definir como p → F, donde "→" es una implicación lógica y F es una falsedad absoluta. Por el contrario, se puede definir F como p & ¬p para cualquier proposición p, donde "&" es una conjunción lógica. La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa. Mientras estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la instuicionista, no funcionan en la lógica paraconsistente, donde las contradicciones no son necesariamente falsas.
En lógica clásica tenemos una identidad adicional: p → q se puede definir como ¬p ∨ q, donde "∨" es la disyunción lógica: "no p, o q".
Algebraicamente, la negación clásica corresponde con el complemento en un álgebra booleana, y la negación intuicionista al seudocomplemento en un álgebra de Heyting. Estas álgebras proveen una semántica para las lógicas clásica e intuicionista respectivamente.
La negación de una proposición p se denota dediferentes maneras en varios contextos y campos de aplicación. Entre estas variantes, tenemos las siguientes:
Conjunción
Una conjunción lógica (comúnmente simbolizada como Y o) es, en lógica y matemáticas, un operador lógico que resulta en verdadero si los dos operadores son verdaderos.
Dado un conjunto universal U y una operación binaria interna conjunción, que representaremos:
Por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.
Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b.
Para dos entradas a y b, la tabla de verdad de la función conjunción es
Disyunción lógica.
En matemáticas, una disyunción lógica, comúnmente conocida como O, o bien como, es un operador lógico que resulta verdadero si cualquiera de los operadores es también verídico. El símbolo es la inicial de la conjunción adversativa latina vel, que significa «o», «o bien».
Definición
Dado un conjunto universal U y una operación binaria interna disyunción, que representaremos:
Por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.
Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la disyunción lógica a y b.
Para dos entradas a y b, la tabla de la verdad de la función disyuntiva es también la disyunción, cuando hay dos elementos en dos conjuntos que integran una proposición. La tabla de la verdad es:
Más generalmente, la disyunción es una fórmula lógica que puede consistir en una o más literales separadas mediante o. Si existe una sola literal se le considera disyunción degenerada.
El condicional
Material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q
Tabla de Verdad Condicional
EJEMPLOS
p: ”llueve”
q: “hay nubes”
p→q: “si llueve entonces hay nubes”
p: ”Hoy es miércoles”
q: “Mañana será jueves”
p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves
sábado, 1 de febrero de 2014
FUNCIONES DE VARIABLE REAL
FUCIONES DE VARIABLE REAL
Definición de función.
En esta función, el dominio será el conjunto de todos los números reales positivos pues el lado de un cuadrado nunca puede tener una medida negativa.
Su recorrido es también el conjunto de todos los números positivos pues un área no puede ser negativa. Además siempre existe un cuadrado que tenga por área cualquier número positivo (bastará construir un cuadrado cuyo lado sea la raíz cuadrada del área elegida).
2.- Cualquier expresión del tipo y=f(x) de las estudiadas en cursos anteriores representa una función real de variable real.
Definición
Definimos función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).
De una manera más rigurosa:
Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.
Ejemplos
Calcula la imagen de los números 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones:
2.- Dominio de definición de una función.
Definición
El subconjunto S de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).
Nota
El dominio de una función puede estar limitado por:
1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.
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