VALOR ABSOLUTO

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6.
Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.
En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número.
De modo general, el valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número acuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces |a| = −a.
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:

Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que ceroy nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos.
Veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo 1

Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.
c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2, pues x − 2 > 0. Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la deja igual.
d) Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2), pues x − 2 < 0 . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto la cambia de signo.

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

FACTOR COMÚN

Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Ejemplos:

b+15

-10

Los tres términos tienen el factor común

b .Escribimos este factor como coeficiente de un paréntesis y dentro del, el resultado de dividir cada termino por el factor común

b+15

-10

b (

+3ab -2

)

Factorar

b (

+3ab -2

) R//

FACTOR COMÚN POLINOMIO

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

No todo polinomio se puede descomponer en dos o mas factores distintos de 1, pues del mismo modo que, aritmética, hay números primeros que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que son divisibles por ellas mismas y por uno, y que, por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a+b no pueden descomponerse en dos factores distintos de 1 porque solo es divisible por a+b y por 1

Factorar.

Ejemplo:

m (x+2)+X+2

Esta expresión podemos escribirla:

m (x+2)+(x+2)=m(x+2)+1(x+2)

Factor común (x+2)

(X+2)+1(x+2)=(x+2)(m+1) R//

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

1. Agrupar términos con elementos comunes

2. Establecer el factor común en cada grupo.

3. Formar el factor común del polinomio con los factores comunes a cada grupo.

Factorar

6x+4-24

-16

Agrupar términos con elementos comunes (1º.y 3º), (2º,y 4º)

(6x-24

)+ (4-16

)

Establecer el factor común de cada grupo:

6x (1-4

+4(1-4

)

Formar el factor común del polinomio:

(6x+4)(1-4

)

Entonces:

6x+4-24

-16

= (6x+4) (1-4

)

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO UN TRINOMIO

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

1. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos del trinomio.

2. Se anotan los dos términos anteriores como una suma algebraica elevada al cuadrado.

Lo anterior queda expresado como

a2+2ab+b2=(a+b)2

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO UN TRINOMIO

(CASO ESPECIAL)

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable ala diferencia de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Expresiones como a² - b², 4² - p²q², 1/9y² - m²n², se denominan diferencias de cuadrados perfectos, ya que los términos que lo forman tienen raíz cuadrada exacta.

La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos binomios, uno como suma y otro como resta. Los términos de estos binomios son las raíces cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia planteada al principio.

Ejemplo:

Factorizar x² - y²

Raíz cuadrada de x² = x

Raíz cuadrada de y² = y

x² - y² = (x + y)(x - y)

CASO ESPECIAL DE DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:

Factorar (a + b)² - c² (a + b)² - c² Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b) [(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis (a + b + c) (a + b – c)

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. Para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polinomios x que multiplicado sale igual a la raíz de 2.

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:
a2 + 2 a - 15 = (a + 5) (a – 3)

CASO VI

Trinomio de la Forma; x² + bx + c

Factorar x² + 7x + 12

1.- Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio (x.......) (x.......)

2.- Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12 4 + 3 = 7 4 x 3 = 12

3. - Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis (x + 4)(x + 3) Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA; AX² + BX + C

Factorar 6x² - x – 2 = 0

Pasos:

1.-Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación 6x² - x – 2 36x² - [ 6 ] x – 12

2.- Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente (6x.......) (6x.......)
3.- Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 número que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]

4.- Esos número son [ - 4 y 3 ] - 4 + 3 = - 1 [ - 4] [ 3 ] = - 12

5.-Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis (6x - 4) (6x + 3)
6.-Dividimos el resultado entre el número que multiplicamos al trinomio, en el Paso 1.-

(6x - 4) (6x + 3)

6

7.- Factorizamos los Binomios tomando a [2] y a [3], como termino común en cada binomio, de esta manera, podemos eliminar el [6], del denominador

2(3x - 2) 3(2x + 1)

             6

6(3x - 2) (2x + 1)
                              = (3x - 2) (2x + 1)
             6

Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (3x - 2) (2x + 1)

CASO VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:

El número de monomios que la conforma son cuatro (4).
La raíz del primer y cuarto monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones de suma y resta entre los monomios.
El segundo y tercer término tienen que cumplir el triángulo de Pascal.
El primer término siempre debe ser positivo.

PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:

Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.
Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la ráiz del cuarto y ésto por tres.
Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.
Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la ráiz del primero y ésto por tres.
Verificar que dé igual al tercer término de la expresión.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces del primer y cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo monomio), y todo elevado a la tres.
Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.

EJEMPLO:

FACTORIZAR: 125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15

SOLUCIÓN:

125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15 = (5 x 4 +8 y5 )3

raíces cúbicas: 5 x 4 8 y5

3. (5 x4)2 . (8 y5) 3 . (5 x4) . (8 y5)2

= 600 x8 y5 =960 x4 y10

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR:

El número de monomios que la conforma son dos (2).
La raíz del primer y segundo monomio tiene que ser raíces cúbicas perfectas.
Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.

PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA FACTORIZACIÓN:

Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
Sacar la raíz cúbica al primer y segundo término.
Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces de acuerdo al signo que se tiene en la expresión.
Multiplicar por otro paréntesis en el que se coloca la primera raíz elevada al cuadrado, luego la multiplicación de las dos raíces, y por último la segunda raíz elevada al cuadrado.
Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.

EJEMPLO:

FACTORIZAR: a3 - 8

SOLUCIÓN:

a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )

raíces cúbicas: a 2

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
(a+b)3 = 3 a2b + 3 ab2 +b3
(a-b)3 = a3 – 3 a2b + 3 a2b – b3

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS:

a³ ± b³ Suma de Cubos: → a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ] [ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]

Diferencia de Cubos: → a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]